V.1.9 - Dernière mise à jour : 27/02/2023
La Terre est une sphère
Les globes en sont l'unique représentation fidèle
Mais pour des raisons pratiques
on préfère utiliser des planisphères ou des mappemondes (désuet)
- Avantage : se plient et se transportent partout même à grande échelle
- Inconvénient : les surfaces courbes qui ne peuvent y être représentées à plat sans déformations
Pour passer d'une sphère à un plan on va pratiquer une projection
Pour commencer, une petite vidéo de 26 min qui commence à être historique (1999) : C'est pas sorcier - Cartographie
Les formes de la Terre s'étudient au travers de la géodésie*
La géodésie est la science des formes et dimensions de la Terre et de son champ de pesanteur.
- L'hypothèse d'une terre sphérique remonte à l'antiquité.
C'est le savant grec Ératosthène vers 240 avant JC qui a fait la première mesure du rayon de la Terre.
Précision de l'ordre de 10 p.100
Des cosmographes arabes reprendront cette mesure au IXe siècle.
fig. 1 - La mesure du rayon terrestre par Ératosthène
Sources : www.ign.frEn 240 ans av. JC, Ératosthène a déterminé le premier rayon terrestre en mesurant l'angle entre les verticales d'Assouan (Syène en grec ancien francisé) et d'Alexandrie et la distance qui les sépare. Cette méthode des arcs va être utilisée jusqu'au XVIIe siècle (cf. Denis Guedj, 2003, Les cheveux de Bérénice. Le Seuil).
- Naissance de la géodésie moderne au XVIIe siècle.
Naissance rendue possible par :
- de nouvelles techniques => la triangulation (voir triangulation et histoire de la triangulation) ;
- de nouveaux instruments => lunettes à réticules.
ces techniques donneront naissance à la première carte de France sans déformations en 1745 (Cassini III)
fig. 2 - Triangulation le long de la méridienne
Sources : www.ign.fr
On peut voir comment dans ce film de l'IGN "De l'avion à la carte" datant des années 50, comment sont :
Comment calculer une distance à l'aide de la méthode des triangles ? Ces deux vidéo vous disent tout :
Grâce à ces progrès, des physiciens comme Newton et Huygens calculent l'aplatissement des pôles (dû à la rotation terrestre).
- L'hypothèse d'une terre légèrement aplatie selon l'axe des pôles est démontrée du XVIIIe siècle.
Deux théories s'affrontent :
- les "newtoniens" penchent pour une terre aplatie aux pôles ;
- les "cassiniens" pour une terre aplatie à l'équateur.
- Qui va gagner ?
L’Académie des Sciences commandite des expéditions pour mesurer des arcs de méridiens terrestres :
- une en Laponie => Maupertuis, Clairaut ;
- une au Pérou => la Condamine, Bouguer.
C'est la théorie de Newton qui triomphe => La Terre est aplatie aux pôles.
En 1799, l'Académie des Sciences (Delambre) choisit le mètre comme unité de mesure universelle de longueur sur la base de 1 mètre = un quart de la 1 / 10 000 000 partie du méridien terrestre.
Naissance du système métrique (cf. Denis Guedj, 2000, Le Mètre du monde. Le Seuil ; Ken Adler, 2002, Mesurer le monde, l'incroyable histoire de l'invention du mètre. Champs Flammarion).
Mais en fait, c'est une succession de mesures de méridiennes qui s'enchaînent en fonction des progrès techniques.
1. méridienne de Picard (1669-1671)
2. méridienne de Cassini (1683-1718)
3. triangulation de Cassini (1733-1770)
4. méridienne de France (1739-1740)
5. triangulation des Ingénieurs géographes (1792-1884) appuyée sur la méridienne de Delambre et Méchain
6. nouvelle méridienne de France (1870-1896)
- On assiste au XIXe siècle au développement de nombreux réseaux géodésiques locaux et à la création d'ellipsoïdes.
Cependant la géodésie reste un concept local
les réseaux nationaux ne concordent pas entre eux.
Création en 1886 de l'Association Internationale de Géodésie :
- objectif établir une meilleure collaboration entre les différents pays.
C'est également à cette époque que l'on se rend compte officiellement que la Terre n'est pas exactement un ellipsoïde.
=> Grâce aux mesures de pesanteur ;
- matérialisation de la déviation relative de la verticale
- définition des surfaces équipotentielles de niveau perpendiculaires en tout point à la verticale locale.
- Au XXe siècle
Grâce :
- aux progrès des mesures électromagnétiques;
- à la puissance de calcul de l'informatique ;
=> essor
- de la gravimétrie (mesure de la variation des irrégularités de la gravité, cf. pesanteur in Wikipédia, dues, entre autre, à l'inégale répartition des masses à l'intérieur de la Terre) ;
- de l'astrogéodésie ;
- des méthodes spatiales.
Techniques permettant d'affiner notre connaissance de la forme de la terre :
- le géoïde par Wikipedia et par Universcience TV.
La Terre est vue comme une sphère régulière aplatie aux deux pôles.
Mais c'est une "surface topographique" avec des vallées sous-marines et des montagnes (-11 000 m à +8 000 m).
Cette surface n'est pas définissable mathématiquement.
On définit, alors, un géoïde de référence :
=> suface équipotentielle du champ de gravité terrestre ;
Il coïncide avec le niveau moyen des mers.
On lira avec intérêt les pages que lui consacre le site du RnCan mais aussi celui de l'IFREMER.
Le géoïde terrestre est une surface de type océanique en tout point perpendiculaire à la direction de la force gravitationnelle.
fig. 2/32 - Le géoïde (cfm21f32.gif)
Sources : webzouminefig. 2/33 - Le géoïde (cfm21f33.gif)
Sources : webzoumine
La géodésie spatiale :
- a permis d'établir des réseaux qui ceinturent la Terre pour donner un positionnement absolu et relatif en coordonnées géocentriques.
- est devenue une des bases scientifiques de la physique du globe pour l'étude des mouvements et déformations de la croûte terrestre (marées terrestres, tectonique des plaques).
Trois types de coordonnées sont définis dans un système géodésique :
- les coordonnées cartésiennes géocentriques ;
- les coordonnées géographiques sur une surface de référence ;
- les coordonnées en représentation plane ou projection.
Suivant les techniques utilisées, les coordonnées obtenues seront différentes.
- en géodésie terrestre => en projection.
- GPS => coordonnées cartésiennes géocentriques.
fig. 3 - Coordonnées cartésiennes géocentrées
Sources : www.ign.fr- Comment exprimer les coordonnées du point M à la surface de la Terre ?
M a les coordonnées cartésiennes géocentriques suivantes (X,Y,Z) qui sont prises dans un repère orthonormé :
- dont l'origine est le centre des masses de la Terre ;
- avec Oz l'axe de rotation de la Terre ;
- Oxy le plan de l'équateur.
- Ces coordonnées sont utilisées :
- en géodésie spatiale ;
- comme intermédiaire lors des calculs de changements de systèmes géodésiques.
- Quelle est la surface de référence la plus simple mathématiquement et qui représente le mieux possible les formes de la Terre ?
C'est un ellipsoïde de révolution => une sphère aplatie aux pôles
fig. 3/34 - L'ellipsoïde de révolution (cfm21f34.gif)
Sources : webzoumine
Il existe de nombreux ellipsoïdes représentant la Terre.
Leurs dimensions varient de l'ordre de quelques centaines de mètres.
Le demi-grand axe de l'ellipsoïde a une valeur d'environ 6 370 km et le demi-petit axe une valeur d'environ 6 350 km.
Soit, pour un ballon de football, un aplatissement de 0,3 mm.
fig. 4/15 - Coordonnées géographiques
Sources : www.ign.fr- Comment exprimer les coordonnées du point M à la surface de la Terre ?
Les coordonnées géographiques de M sont la longitude
(lambda), la latitude
(phy), projection de M sur l'ellipsoïde suivant la normale, et h (l'élévation ou hauteur à ne pas confondre avec l'altitude) est la distance algébrique de Mo à M.
Deux façons d'exprimer les coordonnées géographiques :
- les coordonnées sexagésimales ;
- les coordonnées décimales.
- Comment passer de l'un à l'autre ?
- pour passer des degrés sexagésimaux aux degrés décimaux :
DD = D° + M'/60 + S''/3600
- pour passer des degrés décimaux aux degrés sexagésimaux :
D° = ENT(DD)
M' = ENT(DD-D°)*60
S'' = (DD-D°-M'/60)*3600
où ENT() est la fonction "partie" entière (dans Excel par exemple)
La longitude est un angle orienté entre :
- le plan méridien origine ;
- et le plan méridien contenant le point M.
Le méridien origine international est celui de Greenwich (cf. méridien de Greenwich in : Wikipedia).
- Depuis quand le méridien de Greenwich est-il le méridien international ?
Il y a autant de méridiens origines que de systèmes géodésiques (Paris pour la France).
La latitude est l'angle orienté entre :
- le plan de l'équateur ;
- et la normale à l'ellipsoïde passant par le point M.
La hauteur est la distance algébrique MoM entre le point M et l'ellipsoïde.
- Quelle est la plus courte distance entre deux points ?
- sur une sphère, c'est l'orthodromie (est représentée par une courbe sur une carte !) ;
- sur une carte, un planisphère, c'est la loxodromie (est représentée par une droite qui coupe les méridiens avec un angle constant, mais n'est pas la distance la plus courte !).
Voyons ça en pratique : allons de Tokyo à Paris (c'est par ici) !
Si vous avez envie de faire quelques calculs de distances sur la sphère, vous pouvez regarder cela !
L'utilisation de coordonnées sur une surface de référence comme un ellipsoïde :
- n'est pas aisée ;
- ne permet pas de réaliser directement
=> des mesures
- de distance ;
- d'angle ;
- de surface.
Il est plus pratique d'avoir une image graphique du monde sur un plan.
On représente l'ellipsoïde (ou une partie de celui-ci) sur un plan
= une représentation plane ou projection.
fig. 5/16 - Coordonnées en projection
Sources : www.ign.fr- Comment exprimer les coordonnées du point M sur un plan ?
M a des coordonnées en projection. Ce sont les coordonnées cartésiennes (E,N) du point m, image de M dans le plan projection muni d'un repère orthonormé (O ; e ; n).
La projection cartographique est définie par la donnée de deux fonctions f et g telles que : E = f (l,i) et N = g (l,j).
L'objectif de la projection est de passer des points géographiques d'une surface courbes à une surface plane.
Mais ceci va entraîner des déformations.
Selon les propriétés des deux fonctions f et g, certaines projections vont essayer de conserver tout ou partie des :
- angles ;
- formes ;
- surfaces
- distances.
Les algorithmes mathématiques permettent de créer des représentations planes (projections) à l'infini.
Elles sont donc très nombreuses.
En général, on les classe selon ces trois critères :
- type de représentation => qualité géométrique ;
- type de canevas => représentation des méridiens et des parallèles sur le plan ;
- aspect de la représentation => orientation de la surface de projection par rapport à l'ellipsoïde.
- L'objectif prioritaire lors de la projection d'une sphère sur un plan
c'est de limiter les déformations
En fonction du but à atteindre,
on choisit de conserver localement :
- les angles => projection conforme
- conserve localement les angles, donc les formes ;
- mais les surfaces sont déformées ;
- l'échelle reste la même dans toutes les directions à partir d'un point.
Objectif : se localiser, se diriger
- les surfaces => projection équivalente
- conserve localement les surfaces ;
- plus précisément, ce sont les rapports de surface qui restent constants ;
- ne conserve pas les angles (le calcul des distances est, au moins, imprécis)
Objectif : cartographier à petite échelle en respectant les proportions.
parfois
- ni l'un ni l'autre => projection aphylactique
- ne conserve ni les angles ni les surfaces, mais elle peut être "équidistante" lorsqu'elle conserve les distances à partir d'un point donné (souvent le long d'un méridien).
Mais, aucune projection ne peut conserver toutes les distances.
- Dans la plupart des projections, le Nord de la projection n'indique pas la direction du pôle Nord géographique.
Chaque projection entraîne des déformations.
Un cartographe français du XIXème siècle est un des premiers à s'y intéresser : Nicolas-Auguste Tissot
Il met au point un indicateur visuel dit : "Indicatrice de Tissot".
fig. 31 - Indicatrice de Tissot sur une projection de Mercator (cfm21f31)
fig. 32 - Indicatrice de Tissot sur une projection de Winkel-Tripel (cfm21f32)
- Canevas simples (!)
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fig. 7/22 |
fig. 8/24 |
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fig. 9/23 |
fig.10/25 |
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- Canevas moins simples (!!)
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fig. 11/26 |
fig. 12/28 |
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fig. 13/27 |
fig. 14/29 |
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- Canevas encore plus complexe
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fig. 15/30 |
fig. 16/31 |
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- Ces figures mettent en évidence la convergence des méridiens :
- c'est l'angle entre le méridien qui passe par un point et le nord de la projection ;
- cet angle peut atteindre plusieurs degrés (positif ou négatif).
fig. 6 - Convergence des méridiens
Sources : www.ign.fr
- Dans la plupart des lieux, le pôle Nord magnétique n'est pas dans la direction du pôle Nord géographique.
L'angle entre le Nord magnétique et le Nord géographique s'appelle la déclinaison magnétique.
Ce sont des projections sur des surfaces développables*
A savoir, les projections :
- cylindriques*
- coniques*
- azimutales*
La surface de projection est un cylindre tangent ou sécant au modèle de la Terre.
- Le plus souvent observée dans sa variété directe*, mais aussi transverse*, plus rarement oblique*.
fig. 7 - Représentation cylindrique directe
Sources : www.ign.frfig. 8 - Représentation cylindrique oblique
Sources : www.ign.frfig. 9 - Représentation cylindrique transverse
Sources : www.ign.fr
La surface de projection est un cône tangent ou sécant au modèle de la Terre.
Elle est surtout utilisée :
- pour les cartes à grande échelle ;
- dans sa variété directe.
Elle existe sous deux formes :
fig. 12 - Représentation conique directe tangente
Sources : www.ign.frfig. 13 - Représentation conique directe sécante
Sources : www.ign.fr
Exemple : Lambert, Lambert-93, Bonne, ...
Les quatre principaux types de projections azimutales
sont les projections :
- stéréographique ;
- gnomonique ;
- orthographique ;
fig. 17 - Quelques représentation de projections azimutales
Sources : Extrait de l'Atlas 2000 (Nathan) in Gilles Davidowicz
Il est possible de tester tout cela sur : planet.botany.uwc.ac.za
Dans un hommage à Waldo Tobler, Philippe Rivière
présente sur son blog Visioncarto
des projections
hyperelliptiques dynamiques à l'écran.
Un grand nombre de projections est regroupé et commenté sur le site de Christian Bordat (actuellement indisponible). On peut également y télécharger un document édité par ESRI pour la version 9 d'ArcGis : Comprendre les projections. Document qui reste d'actualité !
Une vidéo sur la dimension 2 : permet de
mieux comprendre les projections ! Celle-ci, sur Vox (en anglais), est un peu plus nerveuse !
Communiquez-moi sur la plateforme Moodle, à la rubrique "Questions de cours", les réponses aux questions suivantes :
Question n°2.1.1. La carte topographique de base française (Série bleue) a des coordonnées imprimées dans ses marges en :
a) Coordonnées cartésiennes géocentrées (x, y, z)
c) Coordonnées rectangulaires en représentation plane
b) Coordonnées géographiques (
d) rien de tout cela
Question n°2.1.2. La surface équipotentielle qui coïncide avec le niveau moyen des mers correspond à la notion de :
a) Surface topographique
c) Sphéroïde
b) Géoïde
d) Ellipsoïde
Question n°2.1.3. Quel siècle faut-il attendre pour démontrer que la Terre est aplatie aux Pôles ?
a) XVIè
c) XVIIIè
b) XVIIè
d) XIXè
Question n°2.1.4. La carte topographique de base française (Série bleue) est associée à une projection dite :
a) Conique conforme
c) Cylindrique équivalente
b) Conique équivalente
d) Cylindrique conforme
NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire géographique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.
