Vincent GODARD

Département de Géographie

Université de Paris 8


V.1.2 - Dernière mise à jour : 23/01/2006

 

Fiche Mémo n°4.2. du cours de Statistique :

Courbes et indices de concentration

 

 

Ils mesurent l'hétérogénéité d'un caractère

C'est-à-dire, si la distribution est concentrée ou non sur un petit nombre d'individus

 

1. La médiale

Ne pas confondre médiane et médiale*

La médiale est la médiane d'une masse

Elle sert surtout :

- pour étudier la répartition dans les séries dissymétriques

telle que la population mondiale où beaucoup de petits peu de gros

- pour savoir combien d'individus consomment la moitié des salaires, etc.

 

1.1. Cas d'une distribution non-groupée (xi exacts)

Exemple n°1 :

- Quelle est la valeur médiale de la population européenne ?

Celle qui divise la population de l'Europe des 15 en deux parties égales

Il faut ordonner les pays du moins peuplé au plus peuplé

tab. 1 - La population européenne en 1991

Rang

Pays

Pop. (million d'hab.)

Somme

% de pop.

Somme des % de pop.

1

Luxembourg

0,4

0,4

0,1%

0,1%

2

Irlande

3,5

3,9

1,0%

1,1%

3

Finlande

5,0

8,9

1,4%

2,4%

4

Danemark

5,1

14,0

1,4%

3,8%

5

Autriche

7,7

21,7

2,1%

5,9%

6

Suède

8,6

30,3

2,3%

8,3%

7

Belgique

9,9

40,2

2,7%

11,0%

8

Grèce

10,1

50,3

2,8%

13,7%

9

Portugal

10,4

60,7

2,8%

16,6%

10

Pays-Bas

15,0

75,7

4,1%

20,7%

11

Espagne

39,0

114,7

10,7%

31,3%

12

France

56,7

171,4

15,5%

46,8%

13

Royaume-Uni

57,5

228,9

15,7%

62,5%

14

Italie

57,7

286,6

15,8%

78,3%

15

Allemagne

79,5

366,1

21,7%

100,0%

Pop totale

366,1

Demi-masse

183,1

- Puis sommer la population et diviser celle-ci par 2

183,1 millions d'habitants est la demi-masse de la population européenne

- A quel pays correspond-elle ?

Le pays médiale est donc le Royaume-Uni, il fait 57,5 M d'habitants

environ 50% de la population européenne est concentrée sur 3 pays

et les 2/3 sur 4 pays

- Quelle est le pays médian ?

C'est le 15è + 1 divisé par 2, soit le 8è => La Grèce (10,1 M d'hab.)

Il y a autant de pays plus petit que de plus grand

mais la médiane sépare la population en 2 parties très inégale

environ 90% de la population européenne est au dessus de la médiane

- La médiale, notée , se calcule comme suit :

formule n°1 (mem42sta.htm)

Avec :

=> la masse de la modalité i ;

j => le nombre des modalités.

 

Exemple n°2 :

tab. 2 - Nombre d'employés par ferme (exemple fictif)

Nb d'employés

Nb de fermes

masse

masse cumulée

xi

ni

xi * ni

(xi*ni)

0

10

0

0

1

9

9

9

2

4

8

17

3

4

12

29

4

2

8

37

5

1

5

42

Somme

30

demi-somme =>

42 / 2 = 21

- Combien d'employés travaillent dans la ferme médiale ?

- Faire la demi-somme du produit des xi * ni = 42 / 2 = 21

La ferme médiale fait passer de 21 à 22 employés

Elle emploie 3 employés

très différent du mode (1), de la moyenne (1,4), de la médiane (1)

- Combien de fermes emploient la moitié des salariés ?

Si 7 fermes ont 25 employés

environ 6 (5,88) en ont 21 (50%)

 

1.2. Cas d'une distribution groupée (xi approchés)

Postulat : les individus sont répartis uniformément dans les classes

- La médiale se calcule comme suit :

formule n°2 (mem42sta.htm)

Avec :

Ï => caractérise la classe médiale ;

j => le nombre des modalités ;

=> demi-masse totale de la variable ;

=> masse cumulée de la classe directement inférieure à celle qui contient la médiale ;

=> masse de la classe qui contient la médiale ;

=> étendue (amplitude) de la classe qui contient la médiale ;

=> borne inférieure de la classe qui contient la médiale.

Exemple n°3

tab. 3 - Salaire horaire en euros (exemple fictif)

Salaire horaire

Nb d'ouvriers

masse

masse cumulée

fréquence

somme des fréquence

xi

ni

xi * ni

(xi*ni)

f(xi * ni)

f(xi*ni)

[0 ; 10[

3

15

15

0,036

0,036

[10 ; 20[

7

105

120

0,253

0,2891

[20 ; 30[

4

100

220

0,241

0,5301

[30 ; 40[

3

105

325

0,253

0,7831

[40 ; 50[

2

90

415

0,217

1

19

415

1

- Qu'est-ce que la somme de 415 euros ?

La masse salariale

- Quel est le salaire médiale ?

= 20 + 10 * [(415 / 2) - 120] / 100 = 20 + 10 + 0,875 = 28,75 ¤

ou

= 20 + 10 * [(0,5) - 0,2891] / 0,241 = 20 + 10 + 0,875 = 28,75 ¤

- Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie que 50 p.100 de la masse salariale est trustée par seulement 5 employés (chefs d'équipes et contre-maîtres ?) sur 19, soit 32 p.100 de l'effectif

- Pourquoi 5 individus ?

- La classe médiale comporte 4 individus et 87,55 p.100 de ces 4 individus se situent sous la valeur médiale (sous l'hypothèse d'équirépartition)

- CàD : 0,8755 * 4 = 3,502 4 individus

donc aucun des employés de la classe médiale ne rejoint ceux des deux classes supérieures à la médiale

- Il y a donc seulement 5 individus qui gagnent autant que les 14 autres

 

2. Mesurer la concentration

Pour répondre à la question :

- Les richesses sont-elles équitablement réparties ?

Il existe un grand nombre de descripteurs, dont :

Courbe de concentration, Indice de GINI et Carré de Lorentz

 

2.1. Les courbes de concentration

- Pour représenter la concentration d'un phénomène

- en abscisse => % cumulé des individus (ni), nombre de : fermes, ouvriers, pays

- en ordonnée => % cumulé des valeurs du caractère (ni*xi) : surfaces, salaires, population

- On ordonne du plus petit au plus grand

Exemple : Tableau 4 - Répartition (par déciles de la population active) du revenu national en France, Allemagne, Pays-Bas, Grande-Bretagne, Suède et Danemark - (Sources : Rapport de la Commission économique de l'ONU pour l'Europe, Économie et statistique, 1976, n°84, in SAINT-JULIEN 1999, p.27).

Téléchargement du tableau

Ce fichier est au format EXCEL 5.0 et "pèse" 97 Ko.

- Calculer sur le tableau 4b la somme cumulée des revenus par décile ;

- Tracer les courbes de la France et de la Suède aux deux dates ;

- Tracer les droites d'équirépartitions (bissectrice) ;

- Comment se fait la répartition des revenus ?

- Comment évolue-t-elle ?

- Que nous apprend le tableau 5a sur l'évolution la plus récente de la distribution du revenu national en France et en Suède ?

- Classer (en 5b) les différents pays du tableau 5a, selon l'importance croissante du degré de concentration de la richesse de la population.

- En quel sens prestations sociales et impôts corrigeaient-ils la répartition des revenus dans la France du début des années 1970 (tab. 6a) ?

- Quel est, selon l'INSEE, l'effet de la fraude fiscale sur la répartition des revenus ?

- Profite-t-elle aux plus hauts revenus, aux bas ou aux revenus moyens ?

 

2.2. Les indices de concentration

Indice de GINI :

Indice de concentration de SALY :

Indice de concentration dans CHEMLA :

En travaux !!!

 

 

3. Test de compréhension

Communiquez-moi par courrier électronique les réponses aux questions suivantes

Question n°4.2.1.

a)

b)

Question n°4.2.2.

a)

b)

Question n°4.2.3.

a)

b)

 

Précisez à la rubrique objet :

EC statistique

puis dans le corps du message vos

n° d'étudiant, nom et prénom

puis vos

réponses

vgodard@univ-paris8.fr

 

 

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NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.