Vincent GODARD

Département de Géographie

Université de Paris 8

V.1.2 - Dernière mise à jour : 23/01/2006

Fiche Mémo n°4.2. du cours de Statistique :

Courbes et indices de concentration

Ils mesurent l'hétérogénéité d'un caractère

C'est-à-dire, si la distribution est concentrée ou non sur un petit nombre d'individus

1. La médiale

Ne pas confondre médiane et médiale*

La médiale est la médiane d'une masse

Elle sert surtout :

- pour étudier la répartition dans les séries dissymétriques

telle que la population mondiale où beaucoup de petits peu de gros

- pour savoir combien d'individus consomment la moitié des salaires, etc.

1.1. Cas d'une distribution non-groupée (x_i exacts)

Exemple n°1 :

- Quelle est la valeur médiale de la population européenne ?

Celle qui divise la population de l'Europe des 15 en deux parties égales

Il faut ordonner les pays du moins peuplé au plus peuplé

tab. 1 - La population européenne en 1991

Rang	Pays	Pop. (million d'hab.)	Somme	% de pop.	Somme des % de pop.
1	Luxembourg	0,4	0,4	0,1%	0,1%
2	Irlande	3,5	3,9	1,0%	1,1%
3	Finlande	5,0	8,9	1,4%	2,4%
4	Danemark	5,1	14,0	1,4%	3,8%
5	Autriche	7,7	21,7	2,1%	5,9%
6	Suède	8,6	30,3	2,3%	8,3%
7	Belgique	9,9	40,2	2,7%	11,0%
8	Grèce	10,1	50,3	2,8%	13,7%
9	Portugal	10,4	60,7	2,8%	16,6%
10	Pays-Bas	15,0	75,7	4,1%	20,7%
11	Espagne	39,0	114,7	10,7%	31,3%
12	France	56,7	171,4	15,5%	46,8%
13	Royaume-Uni	57,5	228,9	15,7%	62,5%
14	Italie	57,7	286,6	15,8%	78,3%
15	Allemagne	79,5	366,1	21,7%	100,0%
	Pop totale	366,1
	Demi-masse	183,1

- Puis sommer la population et diviser celle-ci par 2

183,1 millions d'habitants est la demi-masse de la population européenne

- A quel pays correspond-elle ?

Le pays médiale est donc le Royaume-Uni, il fait 57,5 M d'habitants

environ 50% de la population européenne est concentrée sur 3 pays

et les 2/3 sur 4 pays

- Quelle est le pays médian ?

C'est le 15^è + 1 divisé par 2, soit le 8^è => La Grèce (10,1 M d'hab.)

Il y a autant de pays plus petit que de plus grand

mais la médiane sépare la population en 2 parties très inégale

environ 90% de la population européenne est au dessus de la médiane

- La médiale, notée , se calcule comme suit :

formule n°1 (mem42sta.htm)

Avec :

=> la masse de la modalité i ;

j => le nombre des modalités.

Exemple n°2 :

tab. 2 - Nombre d'employés par ferme (exemple fictif)

Nb d'employés	Nb de fermes	masse	masse cumulée
xi	ni	xi * ni	(xi*ni)
0	10	0	0
1	9	9	9
2	4	8	17
3	4	12	29
4	2	8	37
5	1	5	42
Somme	30	demi-somme =>	42 / 2 = 21

- Combien d'employés travaillent dans la ferme médiale ?

- Faire la demi-somme du produit des xi * ni = 42 / 2 = 21

La ferme médiale fait passer de 21 à 22 employés

Elle emploie 3 employés

très différent du mode (1), de la moyenne (1,4), de la médiane (1)

- Combien de fermes emploient la moitié des salariés ?

Si 7 fermes ont 25 employés

environ 6 (5,88) en ont 21 (50%)

1.2. Cas d'une distribution groupée (x_i approchés)

Postulat : les individus sont répartis uniformément dans les classes

- La médiale se calcule comme suit :

formule n°2 (mem42sta.htm)

Avec :

Ï => caractérise la classe médiale ;

j => le nombre des modalités ;

=> demi-masse totale de la variable ;

=> masse cumulée de la classe directement inférieure à celle qui contient la médiale ;

=> masse de la classe qui contient la médiale ;

=> étendue (amplitude) de la classe qui contient la médiale ;

=> borne inférieure de la classe qui contient la médiale.

Exemple n°3

tab. 3 - Salaire horaire en euros (exemple fictif)

Salaire horaire	Nb d'ouvriers	masse	masse cumulée	fréquence	somme des fréquence
xi	ni	xi * ni	(xi*ni)	f(xi * ni)	f(xi*ni)
[0 ; 10[	3	15	15	0,036	0,036
[10 ; 20[	7	105	120	0,253	0,2891
[20 ; 30[	4	100	220	0,241	0,5301
[30 ; 40[	3	105	325	0,253	0,7831
[40 ; 50[	2	90	415	0,217	1
		19	415	1

- Qu'est-ce que la somme de 415 euros ?

La masse salariale

- Quel est le salaire médiale ?

= 20 + 10 * [(415 / 2) - 120] / 100 = 20 + 10 + 0,875 = 28,75 ¤

ou

= 20 + 10 * [(0,5) - 0,2891] / 0,241 = 20 + 10 + 0,875 = 28,75 ¤

- Qu'est-ce que cela signifie ?

Cela signifie que 50 p.100 de la masse salariale est trustée par seulement 5 employés (chefs d'équipes et contre-maîtres ?) sur 19, soit 32 p.100 de l'effectif

- Pourquoi 5 individus ?

- La classe médiale comporte 4 individus et 87,55 p.100 de ces 4 individus se situent sous la valeur médiale (sous l'hypothèse d'équirépartition)

- CàD : 0,8755 * 4 = 3,502 Å 4 individus

donc aucun des employés de la classe médiale ne rejoint ceux des deux classes supérieures à la médiale

- Il y a donc seulement 5 individus qui gagnent autant que les 14 autres

2. Mesurer la concentration

Pour répondre à la question :

- Les richesses sont-elles équitablement réparties ?

Il existe un grand nombre de descripteurs, dont :

Courbe de concentration, Indice de GINI et Carré de Lorentz

2.1. Les courbes de concentration

- Pour représenter la concentration d'un phénomène

- en abscisse => % cumulé des individus (n_i), nombre de : fermes, ouvriers, pays

- en ordonnée => % cumulé des valeurs du caractère (ni*xi) : surfaces, salaires, population

- On ordonne du plus petit au plus grand

Exemple : Tableau 4 - Répartition (par déciles de la population active) du revenu national en France, Allemagne, Pays-Bas, Grande-Bretagne, Suède et Danemark - (Sources : Rapport de la Commission économique de l'ONU pour l'Europe, Économie et statistique, 1976, n°84, in SAINT-JULIEN 1999, p.27).

Téléchargement du tableau

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- Calculer sur le tableau 4b la somme cumulée des revenus par décile ;

- Tracer les courbes de la France et de la Suède aux deux dates ;

- Tracer les droites d'équirépartitions (bissectrice) ;

- Comment se fait la répartition des revenus ?

- Comment évolue-t-elle ?

- Que nous apprend le tableau 5a sur l'évolution la plus récente de la distribution du revenu national en France et en Suède ?

- Classer (en 5b) les différents pays du tableau 5a, selon l'importance croissante du degré de concentration de la richesse de la population.

- En quel sens prestations sociales et impôts corrigeaient-ils la répartition des revenus dans la France du début des années 1970 (tab. 6a) ?

- Quel est, selon l'INSEE, l'effet de la fraude fiscale sur la répartition des revenus ?

- Profite-t-elle aux plus hauts revenus, aux bas ou aux revenus moyens ?

2.2. Les indices de concentration

Indice de GINI :

Indice de concentration de SALY :

Indice de concentration dans CHEMLA :

3. Test de compréhension

Communiquez-moi par courrier électronique les réponses aux questions suivantes Question n°4.2.1. a) b) Question n°4.2.2. a) b) Question n°4.2.3. a) b)   Précisez à la rubrique objet : EC statistique puis dans le corps du message vos n° d'étudiant, nom et prénom puis vos réponses vgodard@univ-paris8.fr

NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.