100 * 1,12 * 1,14 * 0,96 = 122,57 individus
C'est un phénomène multiplicatif
Mais quel est le taux d'accroissement annuel ?
formule
n°1 (mem33ta.htm)
V.1.5 - Dernière mise à jour : 13/01/2007
Lorsque les phénomènes sont :
- multiplicatifs ou cumulatifs ;
- mettant en cause des fractions, ...
Il faut utiliser une moyenne :
- géométrique ;
- harmonique ;
Cette partie du cours a fait l'objet de controverses sur un forum. Si vous souhaitez en prendre connaissance :
Le forum est fr.sci.maths, il est accessible au http://groups.google.com/group/fr.sci.maths?lnk=gschg&hl=fr et en particulier au message suivant : http://groups.google.com/group/fr.sci.maths/browse_thread/thread/752db0eb00550fa5/fceed4c8d76a3a50?hl=fr#fceed4c8d76a3a50
L'exemple sur les champs mériterait aussi une petite précision.
- quadratique.
Elle permet, entre autre, de calculer le taux de variation moyen
qui fonctionne sur le même principe que les taux de réduction ou agrandissement des :
- échelles ;
- photocopieurs, ...
Exemple n°1 :
- Prenons une population de 100 individus qui s'accroît de 12% la 1ère année
100 * 12% = 100 * 1,12 = 112 individus
- l'année suivante, accroissement de 14% (* 1,14)
- l'année suivante baisse de 4% (* 0,96)
- L'accroissement total est de :
100 * 1,12 * 1,14 * 0,96 = 122,57 individus
C'est un phénomène multiplicatif
Mais quel est le taux d'accroissement annuel ?
Avec :
le taux d'accroissement moyen annuel ;
j le nombre d'années ;
le produit de l'accroissement annuel.
ou encore, le quotient de la Quantité finale par la Quantité initiale
La moyenne géométrique permet de répondre au 3 questions suivantes :
- Quel est l'accroissement moyen annuel de la population sur 10 ans ?
- Combien sera-t-on dans 10 ans ?
- Combien de temps nous faut-il pour doubler ?
- Moyenne géométrique pondérée
formule n°2 (mem33ta.htm)
j modalité dotée d'un effectif ni
Exemple n°1 (suite) :
- Calcul du taux d'accroissement moyen annuel sur les 3 années
Démonstration sans tableur (avec les logarithmes et une calculette) :
100 * 1,07 * 1,07 * 1,07 = 100 * 1,12 * 1,14 * 0,96
soit x3 = 1,12 * 1,14 * 0,96
<=> 3 log x = log 1,12 + log 1,14 +log 0,96
<=> log x = (log 1,12 + log 1,14 +log 0,96) * 1/3
<=> log x = 0,03 (avec touche 10x sur la calculette)
<=> x = 1,07
- Calcul du taux d'accroissement moyen annuel si on ne connait que les quantités initiales et finales
Exemple n°2 :
Données tirées de : GWATTKIN D. et BRANDEL S. La croissance de la population dans le Tiers-Monde. Pour la Science, juillet 1982 : 14-23. Chiffres utilisés p. 22.
1) La population du 1/3 monde était d'environ 3,2 milliards d'individus en 1982
- si elle est de 5 milliards d'individus en 1995,
Quel est le taux d'accroissement annuel moyen ?
- Calcul de la racine treizième du produit de l'accroissement annuel
On ne connait pas xi l'accroissement annuel mais on en connait le produit final
c'est le quotient
5 / 3,2 = 1,5625
Donc, le taux d'accroissement annuel moyen, la moyenne géométrique, vaut :
Soit environ 3,5%
2) Si la population du 1/3 monde était d'environ 5 milliards d'individus en 1995
Combien a-t-elle été en 2000 avec un taux d'accroissement de 3,5 % ?
<=> (1,035)5 = Quantité finale / 5
<=> 5 * (1,035)5 = Quantité finale
<=> Quantité finale = 5,9384
En l'an 2000, la population du 1/3 monde était d'environ 5,94 milliards d'individus
3) Si la population du 1/3 monde était d'environ 5 milliards d'individus en 1995
Combien de temps va-t-elle mettre pour doubler si elle conserve un taux d'accroissement de 3,5 % ?
<=> log 1,035 = 1/y * log 2
<=> y = log 2 / log 1,035
<=> y = 0,30103 / 0,01494 = 20,15 ans
Pour en savoir plus sur les logarithmes, cliquez ici !
Combien de temps va-t-elle mettre pour doubler si elle atteint un taux d'accroissement de 0,5 % ?
<=> log 1,005 = 1/y * log 2
<=> y = log 2 / log 1,005
<=> y = 0,30103 / 0,00217 = 138,98 ans
On lira avec profit : JACQUARD (A) - 1993 - L'explosion démographique. Paris, Flammarion, Col. Dominos n°8, 126 p.
Exemple n°3
Tableau n°1 : Variation du pouvoir d'achat en France entre janvier 1979 et janvier 1990
Pouvoir d'achat du taux de salaire ouvrier1
(en %)
1980 0,7 1,007 1981 2,3 1,023 1982 2,1 1,021 1983 -0,3 0,997 1984 -0,1 0,999 1985 -0,4 0,996 1986 1,1 1,011 1987 0,3 1,003 1988 1,1 1,011 1989 0,1 1,001 1990 1,0 1,010
Sources : INSEE, Tableau de l'économie française, édition 1990, p.831 Salaire brut de l'heure, non supplémentaire, des ouvriers payés au temps, à l'exclusion de toute prime.
Quel est le taux d'accroissement annuel moyen du pouvoir d'achat ouvrier ?
En utilisant la moyenne géométrique pondérée :
La variation moyenne de pouvoir d'achat,
En conclusion :
Quand utilise-t-on l'une ou l'autre des moyennes?
Quand la logique est multiplicative
=> moyenne géométrique
Quand la logique est additive
=> moyenne arithmétique
Elle permet, entre autre, de calculer des moyennes de pourcentages ou des moyennes de ratios
L'utilisation la plus fréquente concerne les données sous forme de fractions
Comme des :
- vitesses moyennes ;
- quantités par unité (nb. de chênes à l'hectare, le PIB par habitants), etc.
Exemple n°1 :
Un véhicule doit faire un aller-retour de 10 km
- à l'aller, il roule à 100 km/h
- au retour, il roule à 50 km/h
La moyenne arithmétique donne 75 km/h
Avec cette moyenne le temps mis est de :
75 km => 60 mn
20 km => x min
<=> x = (60 * 20) / 75 = 16 min
Mais si on décompose le temps effectivement mis :
A l'aller
100 km => 60 mn
10 km => x mn
<=> x = (60 * 10) / 100 = 6 mn
Au retour
50 km => 60 mn
10 km => x mn
<=> x = (60 * 10) / 50 = 12 mn
Aller + Retour = 18 mn !
Soit une vitesse moyenne de :
20 km => 18 mn
y km => 60 mn
<=> x = (60 * 20) / 18 = 66,66 km/h
- en 9 mn à 66,66 km/h on parcourt bien 10 km
Ce sont des problématiques de réseaux (de bus ou autre !)
sauf que la vitesse est de 5 à 10 km/h
- Pour se simplifier la vie, on peut utiliser la
formule de la moyenne harmonique*
:
formule n°3 (mem33ta.htm)
- Formule de la moyenne harmonique pondérée :
formule n°4 (mem33ta.htm)
Avec :
j le nombre de modalités ;
N la somme des effectifs ni.
Exemple n°1 (suite) :
En prenant la moyenne harmonique
Exemple n°2 :
On épand 5 kg d'engrais par ha sur un premier champs, 6 sur un deuxième et 8 sur un troisième.
Quelle-est la teneur moyenne par ha ?
La moyenne arithmétique est de (5 + 6 + 8) / 3 = 6,3 kg/ha
La moyenne harmonique est de :
Exemple n°3 :
Tableau n°2 : Chômeurs masculins au sens du BIT selon le sexe et l'âge en 1989
Effectifs de chômeurs* Taux
(*1 000) (en %) < 25 ans 249,0 16,9 [25 ; 50[ 565,1 6,1 >= 50 ans 168,5 6,1 Total 982,6 7,3
Sources : INSEE, Tableau de l'économie française, édition 1990, p.65Quel était le taux de chômage moyen pour les hommes en 1989 ?
En utilisant la moyenne harmonique pondérée :
* Attention, si cela avait été l'effectif total (à la place de l'effectifs des chômeurs masculins), il aurait fallu utiliser une moyenne arithmétique pondérée !
Elle permet, essentiellement, de calculer des moyennes d'écart
L'utilisation la plus fréquente concerne les calculs de surface moyenne
- Formule de la moyenne
quadratique* pondérée 
:
formule n°5 (mem33ta.htm)
Avec :
xi2 produit des côtés (des surfaces par exemple) ou côté au carré ;
N la somme des effectifs ni.
Exemple :
Soit 4 îlots boisés carrés dont la taille est connue par côté, soit 300 m, 300 m, 450 m et 600 m.
Quelle-est la taille moyenne de ces bois, exprimée par le côté ?
La moyenne arithmétique est de 2*300 + 450 + 600 / 4 = 412,5 m
La moyenne quadratique est de :
Remarque
On trouvera d'autres exemples d'utilisation de ces moyennes dans :
- BOURSIN 1988, pp. 50-58 ;
- LAHOUSSE et PIEDANNA 1998, pp. 38-39 ;
- SALY 1991, pp. 119-121.
En conclusion,
On utilisera une moyenne :
- géométrique lorsque les caractères sont multiplicatifs ou cumulatifs ;
- harmonique lorsque les caractères mettent en cause des fractions, des pourcentages, ...
- quadratique lorsque l'on calcul des moyennes d'écart
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Communiquez-moi par courrier électronique les réponses aux questions suivantes Question n°3.3.1. Si l'on veut calculer le pourcentage moyen de femmes dans l'ensemble des CSP, il vaut mieux utiliser la moyenne :
Question n°3.3.2. Si l'on veut calculer le taux d'accroissement moyen de la population carcérale, il vaut mieux utiliser la moyenne :
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NB : les mots suivis de "*" font partie du vocabulaire statistique, donc leur définition doit être connue. Faites-vous un glossaire.